La Proporción Áurea y la Sucesión de Fibonacci: matemáticas de la belleza

En 1938, el profesor y escritor brasileño Julio César de Mello y Souza, disfrazado bajo el pseudónimo de Malba Tahan, escribe su obra de divulgación "El hombre que calculaba", ambientada en el Lejano Oriente y que trata de un hombre, Beremiz, que resuelve problemas que para otros resultan imposibles mediante las matemáticas. Entre sus capítulos podemos encontrar todo tipo de herramientas matemáticas como las divisiones, el cálculo mental, la estimación estadística, la geometría o  la teoría de juegos convertidas en deliciosos cuentos llenos de camellos, jeques, califas y princesas del desierto.

En una de estas historias, Beremiz consigue determinar la belleza de una mujer sin mirarla, tan solo palpando su rostro. Con este cuento se pretende ilustrar el concepto de la denominada "proporción áurea", un número que se encuentra tanto en algunas de las obras de arte más admiradas como en algunas flores o en la concha de algunos moluscos. Su nombre deriva de que, según los matemáticos, la presencia de esta proporción en las dimensiones de un objeto favorece que nos resulte más atractivo o agradable de ver. Vendría a ser la proporción de la belleza.

La paradoja del chocolate infinito

Si saliésemos a la calle y preguntásemos a la gente si le gusta el chocolate, probablemente nos encontraríamos con que a prácticamente todo el mundo le encanta, y hasta podrían extrañarse de la idea de que haya personas a las que no le gusta. Si preguntásemos, por otro lado, a cuánta gente le gustan las matemáticas, lo probable sería encontrarnos con que a una gran mayoría no le gustan o no las entiende. Algunos empezarían a sudar al recordar las enormes tablas de integrales y derivadas o notarían un nudo en el estómago escuchando la voz de su profesor en la cabeza echándole la bronca por no haber conseguido aprenderse las fórmulas de cálculo para las áreas geométricas. Pero, paradójicamente, los amantes del chocolate podemos sentirnos de suerte, y por extraño que nos parezca, se lo debemos a las matemáticas.

 

Tal vez hayas oído alguna paradoja de las famosas, como la de la tortuga y Aquiles o la que dice que si doblas un papel veintidós veces podrías superar a la torre Eiffel (y si la doblas cuarenta y cuatro, a la Luna) sin ningún problema, pero la que te presentamos hoy es mucho más rara. Y es que, mediante una especie de rompecabezas geométrico podríamos obtener, a partir de una tableta de chocolate entera, una onza extra tantas veces como hiciéramos el mismo truco una y otra vez. Simplemente reorganizando las onzas de una tableta de chocolate obtendríamos una más para goce y disfrute de nuestras meriendas.

Población: Crecimiento, Preocupación y Conspiración



Se calcula que en 2.050 seremos
9.100 millones de personas.

Las primeras civilizaciones encontraron muy útil censar las poblaciones y así determinar la cantidad de impuesto que se podía recabar, la cantidad de esclavos que podían trabajar en un proyecto o la cantidad de hombres disponibles para ser reclutados en el ejército. Ejemplo de estas prácticas las vemos en el Imperio Romano y en el Antiguo Egipto. Sin embargo, hoy en día la Humanidad no sólo se preocupa por contabilizarse, sino que también es de interés proyectar la población futura y planificar la producción de recursos que se necesitaran, tales como energía, fuentes de agua potable y alimentos, entre otros aspectos. Y de esta manera evitar la escasez, desequilibrios económicos y hambrunas. Pero, ¿cuán efectiva ha sido la Humanidad para planificarse y mantener una calidad de vida decente? Repasemos varias de las ideas y preocupaciones planteadas a través de la historia con respecto a la sobrepoblación, incluso sobre una teoría conspirativa.

Newton y Leibniz, dos trayectorias convergentes.

Un problema frecuente en matemáticas es el cálculo del área bajo una curva definida por una función, algo poco práctico para hacer los recados de la compra pero útil y provechoso para la física, ingeniería, estadísticas y un amplio espectro de ciencias. Para resolver este problema se recurre a un procedimiento conocido como integración, el cual es uno de los pilares del Cálculo. No obstante, antes de la integración se utilizaban métodos geométricos y aproximados para alcanzar resultados. Dos grandes genios de la historia universal descubrieron de forma independiente y casi simultánea la clave del cálculo, logrando encontrar la relación entre conceptos como límite, derivada e integración, lo que permite hallar resultados exactos. Este hallazgo es conocido como el Teorema Fundamental del Cálculo y hoy se reconocen a Sir Isaac Newton y a Gottfried Wilhelm Leibniz como sus descubridores durante el siglo XVII.

Georg Cantor: Conjunto, paradojas y locura

    Cuando somos niños y comenzamos a estudiar matemáticas, uno de los primeros conceptos a conocer es el de conjunto. Por supuesto, se trata de una noción intuitiva y satisface las necesidades para continuar el avance  en otros temas. En la historia de la matemática ocurrió algo similar, es decir, la humanidad fue desarrollando y descubriendo el conocimiento matemático utilizando como base entre otros conceptos, el conjunto, apelando al sentido común. No obstante, lograr formular una teoría consistente, que partiera de una definición rigurosa del significado de un conjunto, fue el resultado de una profunda labor intelectual, cuyos estragos y sacrificios debemos agradecer a Georg Cantor.

    Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nace el 3 de marzo de 1843 en San Petersburgo, pero a los 7 años su familia se traslada a Alemania, residenciándose en Fráncfurt. En 1863 se especializa en matemáticas, filosofía y física en la Universidad de Berlín y a los 27 años se hace catedrático de la universidad de Halle. En 1874 publica su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. El trabajo de Cantor requirió de conceptos novedosos, promoviendo una manera de ver y entender las matemáticas distinta hasta entonces. Por ejemplo, Cantor define una función utilizando el concepto de conjunto. Sin embargo, algunos de sus colegas se resistieron al cambio, observando argumentos incómodos de explicar y que hacían tambalear la veracidad de la matemática.

¿Y cuál era el problema?

Georg Cantor
3 de marzo de 1845  -  6 de enero de 1918

    Cantor con su teoría ofrecía una versión formal y rigurosa de la matemática, en otras palabras, definía cada concepto utilizado, y a partir de estos conceptos y aplicando un razonamiento lógico, podía demostrar propiedades. De tal manera que todo queda explicado y sin lugar a dudas. Para lograr esta hazaña, era necesario definir un concepto básico para la matemática como lo es el conjunto. Y el problema radica en un pueblo donde solo hay un barbero, y debido a una  ley, el barbero solo debe afeitar a los hombres que no se afeitan a sí mismos, entonces ¿Quién afeita al barbero? Amigo lector por favor mantenga la calma, porque la respuesta a esa pregunta demuestra como la teoría de Cantor es contradictoria, o en otras palabras, la construcción formal y lógica de la matemática propuesta por Cantor, hace verla como una teoría de la cual podemos dudar. Esta breve historia del Barbero se conoce como una de las formas de la paradoja de Russell, quien la descubrió en 1901.